논리 연습
문제 1. 다음을 명제식 형태로 쓰고 참인지 거짓인지 판단하시오
1번. 만약 0이 홀수라면, 미국에서 2080년 월드컵이 열린다.
2번. 만약 19893827938274839이 Prime Number(소수)라면, 2는 짝수이다
(풀이)
1번.
가정 : 0이 홀수이다.
결론 : 미국에서 2080년 월드컵이 열린다.
가정이 거짓(false)이기 때문에, 결과의 참/거짓 여부와 무관하게 명제식은 무조건 참이다.
2번.
가정 : 19893827938274839이 Prime Number(소수)이다.
결론 : 2는 짝수이다.
위 명제의 대우는 '2가 홀수이면, 19893827938274839이 Prime Number(소수)가 아니다.'이다.
이 때, 명제의 대우에서의 가정이 거짓이기 때문에, 결론의 참/거짓 여부와 무관하게 명제식은 무조건 참이다.
= 결론이 참인 경우는, 전제의 참/거짓 여부와 문관하게 명제식은 무조건 참이다.
문제 2. p와 q가 명제이고 p → q가 거짓이라고 하자. 다음 명제식의 참/거짓은 어떻게 되는가?
1번. ~p → q
2번. p ∨ q
3번. q → p
(풀이)
p → q가 거짓이기 위해서는, p는 참이고, q는 거짓인 경우 뿐이다.
1번.
~p는 거짓, q는 거짓이기 때문에 ~p → q은 거짓 → 거짓이므로, 명제식은 참이다.
2번.
p는 참, q는 거짓이기 때문에, p ∨(and) q 조건에 따라 둘 중 하나에 참이 있기 때문에, 명제식은 참이다.
3번.
q는 거짓이고, p는 참이기 때문에, q → p은 거짓 → 참 이기 때문에, 결론이 참일때는 늘 명제식은 참이다.
문제 3. 명제식의 역, 이, 대우
명제식 : p → q
(풀이)
역 : q → p
이 : ~p → ~q
대우 : ~q → ~p
* 명제식이 참이라면 이 중에서 성립되는 것은 '대우' 뿐이다.
문제 4. 다음 명제식의 진리표를 만드시오
1번. p∧ (q → ~p)
2번. (p ∧ ~q )→ r
(풀이)
1번. p∧(q→ ~p)
| p | q | ~p | (q→ ~p) | p∧(q→ ~p) |
| T | T | F | F | F |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | T | F |
| F | F | T | T* | F |
* 가정이 거짓이면, 결론의 참/거짓 여부와 무관하게 명제식은 참이다.
2번. (p ∧ ~q )→ r
| p | q | r | (p ∧ ~q ) | (p ∧ ~q )→ r |
| T | T | F | F | T |
| T | T | F | F | T |
| T | F | T | T | T |
| T | F | F | T | F* |
| F | T | T | F | T |
| F | T | F | F | T |
| F | F | T | F | T |
| F | F | F | F | T |
* 명제식에서 참/거짓 여부가 거짓이 나오는 경우는 T(참) → F(거짓)일 때 뿐이다.
증명 연습
∀x(=모든 임의의 수 x에 대해), P(x) → Q(x)를 증명하려는데, Q(x)가 항상 참인 경우
문제 1 : 다음을 증명하시오
1번. 실수 x에 대해, 만약 x < -1 이면, x²+¼ > 0 이다
2번. n이 홀수이면, 4n³ + 6n² + 12는 짝수이다.
(풀이)
1번.
가정 : x < -1
결론 : x²+¼ > 0
x² > ¼ 이기 때문에, (*x가 실수일 경우 x의 제곱은 항상 양수이다) ≫ 결론이 참이다.
즉, 결론이 참일 때는 명제식은 무조건 참이기 때문에 Q(x)는 항상 참이다.
따라서, ∀x(=모든 임의의 수 x에 대해), P(x) → Q(x)이다.
2번.
가정 : n은 홀수이다.
결론 : 4n³ + 6n² + 12는 짝수이다.
4n³ + 6n² + 12은 2(2n³ + 3n² + 6)와 같다. 그러므로 결과는 참이다.
(n의 홀수여부(가정) 와 관계없다)
즉, Q(x)는 항상 참이다.
따라서, ∀x(=모든 임의의 수 x에 대해), P(x) → Q(x)이다.
∀x(=모든 임의의 수 x에 대해), P(x) → Q(x)를 증명하려는데, P(x)가 항상 거짓인 경우
문제 2 : 다음을 증명하시오
1번. 실수 x에 대해, 만약 2x² - 4x + 4 < 0 이면, x > 8 이다.
2번. 4n³ + 6n² + 11이 짝수이면, n이 홀수이다.
(풀이)
P(x) = 가정이 거짓인 것을 증명하면 된다.
(*가정이 거짓이면, 결론의 참/거짓 유무와 관계없이 명제식은 늘 참이다
= 결론이 참이면, 가정의 참/거짓 유무와 관계없이 명제식은 늘 참이다.)
1번.
가정 : 2x² - 4x + 4 < 0 (x는 실수)
결론 : x > 8
2x² - 4x + 4 < 0 = 2(x²-2x+2) = 2(x-1)²+6 ≥ 0 이다.
(*실수의 제곱은 늘 양수이기 때문에)
따라서 2x² - 4x + 4 < 0은 거짓이다.
그렇기 때문에 P(x)은 거짓이므로, ∀x, P(x) → Q(x)은 참이다.
2번.
가정 : 4n³ + 6n² + 11이 짝수이다.
결론 : n이 홀수이다.
4n³ + 6n² + 11 = 2(2n³ + 3n² + 5) + 1 이기 때문에, 짝수 + 1은 늘 홀수이기 때문에,
4n³ + 6n² + 11은 늘 홀수이다.
그렇기 때문에 P(x)은 거짓이므로, ∀x, P(x) → Q(x)은 참이다.
문제 출처 : SW Expert Academy (swexpertacademy.com/main/main.do)